Лабораторная №4-Исследование численных методов решения уравнения с одним неизвестным № 227352
Дисциплина: «Математика»
Лабораторная №4-Исследование численных методов решения уравнения с одним неизвестным № 227352
Цена 250 р.
Цель занятия: освоение численных методов решения уравнения f(x)=0 и сравнение погрешностей приближенного вычисления при использовании различных методов.
Исходные данные: х (х + 1) 2 = 1
f(x)=х3+2х2+х-1
Задача 1. Отделение корней. Проверка условий сходимости численных методов.
1.Отделим корни уравнения графичсеки.
При графическом методе можно построить график1 функции для уравнения вида f(x) = 0. Значения действительных корней уравнения являются абсциссами точек пересечения функции y = f(x) с осью х.
Решение:………..
Задача 2. Метод половинного деления.
Метод половинного деления при нахождении корня уравнения f(x)=0 состоит в делении пополам отрезка [a; b], где находится корень. Затем анализируется изменение знака функции на половинных отрезках, и одна из границ отрезка [a; b] переносится в его середину. Переносится та граница, со стороны которой функция на половине отрезка знака не меняет. Далее процесс повторяется. Итерации прекращаются при выполнении одного из условий: либо длина интервала [a; b] становится меньше заданной погрешности нахождения корня, либо если значение функции сравнимо с погрешностью расчетов.
Алгоритм метода половинного деления:
1.Найдем середину отрезка [a; b]: c=(a+b)/2;
2.Вычислим значения функции в точках a и c и найдем произведение полученных значений: d=f(c)ּf(a);
3.Если d>0, то теперь точкой a станет c: a=c; Если d<0, то точкой b станет c: b=c;
4.Вычислим разность a и b, сравним ее с точностью ε: если |a-b|> ε, то идем в пункт 1) если нет, то корень с нужной нам точностью найден, и он равен: x=(a+b)/2;
Решение.
Поскольку f(0)*f(1)<0, то корень лежит в пределах [0;1]…………..
Задача 3. Метод касательных (метод Ньютона).
Суть метода касательных заключается в том, что на промежутке [a, b] дуга кривой y = f(x) заменяется касательной к этой кривой. За приближенное значение корня принимается точка пересечения касательной с осью х (рис. 6, 7).
Геометрический смысл метода Ньютона состоит в том, что дуга кривой y = f(x) заменяется касательной. Для этого выбирается некоторое начальное приближение корня x0 на интервале [a, b] и проводится касательная в точке C0(x0, f(x0)) к кривой y = f(x) до пересечения с осью абсцисс. Уравнение касательной в точке C0 имеет вид…………..
Задача 4. Метод итераций.
Представим уравнение в форме:………………
Задача 5.Сравнение погрешностей приближенного вычисления корня при использовании различных методов.