Шпаргалка по Математическому анализу_21395
Загрузка...
Перезагрузить документ 
Открыть в новой вкладке 1. Множество R действительных чисел. Сформулировать аксиому полноты и принципы вложенных отрезков. Промежутки, окрестности конечной точки и бесконечности.
Объединение множества рациональных чисел и множества иррациональных чисел называется множеством действительных (или вещественных) чисел.
Множество действительных чисел обозначается символом R. Очевидно, .
Действительные числа изображаются на числовой оси Ох точками (рис.).
При этом каждому действительному числу соответствует определенная точка числовой оси и каждой точке оси соответствует определенное действительное число.
Поэтому вместо слов «действительное число» можно говорить «точка».
Точки, изображающие действительные числа, расположены «всюду плотно» на оси: между любыми двумя действительными числами найдется бесконечно много действительных чисел.
Свойством плотности обладают также множества рациональных и иррациональных чисел. Любое иррациональное число можно как угодно точно приближать рациональными числами, в частности конечными десятичными дробями, имеющими все более длинные дробные части; например,
При практических вычислениях с ограниченной точностью различие между рациональными и иррациональными числами не проявляется.
Действия сложения и умножения действительных чисел обладают свойствами: коммутативности: ; ассоциативности: ; дистрибутивности:
Наряду с аксиомой Дедекинда рассмотрим ещё одну формулировку свойства полноты множества действительных чисел, известную под названием принципа вложенных отрезков.
Аксиома: Для последовательности сегментов таких, что каждый следующий вложен в предыдущий: [a1,b1]?[a2,b2]?[a3,b3]?…?[an,bn]?… – существует число, принадлежащее всем сегментам.
Различают следующие виды промежутков: 1) замкнутый промежуток (отрезок, сегмент): ;
2) открытый
промежуток (интервал):
(иногда для интервала используют обозначение );
3) полуоткрытые промежутки: ,
(в других обозначениях и соответственно); 4) бесконечные промежутки (лучи, полупрямые): ,
,
,
,
(числовая прямая).
Окрестностью точки называют любой интервал, содержащий эту точку;
?-окрестностью (? > 0) точки называется интервал ,
т. е. множество чисел х, удовлетворяющих условию
.
2. Ограниченные и неограниченные множества в R. Определене точных верхней и нижней граней множества. Доказать их существование. Сформулировать теорему о точных гранях. Привести примеры.
Множество R точек на прямой может либо состоять из точек, расстояния которых от начала координат не превосходят некоторого положительного числа, либо иметь точки, сколь угодно далекие от начала координат. В первом случае множество называется ограниченным, а во втором — неограниченным. Примером ограниченного множества может служить множество всех точек отрезка , а примером неограниченного множества—множество всех точек с целыми координатами.
Пусть множество R ограничено сверху. Тогда на прямой существуют точки , правее которых нет ни одной точки множества R. Используя принцип Кантора, можно показать, что среди всех точек , обладающих этим свойством, найдется самая левая. Эта точка называется верхней гранью множества R. Аналогично определяется нижняя грань точечного множества.
Если во множестве R есть самая правая точка, то она, очевидно, и будет верхней гранью множества R. Однако может случиться, что во множестве R нет самой правой точки. Например, множество точек с координатами
ограничено сверху и не имеет самой правой точки. В таком случае верхняя грань не принадлежит множеству R, но сколь угодно близко к имеются точки множества . В приведенном выше примере .
Т е о р е м а . Если не пустое множество R действительных чисел ограничено сверху (снизу) конечным числом (соответственно ), то существует число М?К (m ?к), являющееся точной верхней (нижней) гранью R.
3. Функции и ее графики. Понятия композиции функции и обратной функции. Привести примеры. Определение четных, нечетных и периодических функции, свойства их графиков. Примеры. Определение функции (а) монотонной,(б) ограниченной на данном промежутке.
Функция – это зависимость одной величины (зависимой переменной) от другой (независимой переменной). Спрос представляет собой зависимость величины спроса от цены. Другими словами, величина спроса есть функция цены или, если записать это математически, QD=f(P).
Если рассматривать функцию как математическое понятие, то её определение будет таким:
Функция: переменная у называется функцией переменной х, если каждому значению х (из некоторой области Х изменения х) поставлено в соответствии по определённому закону единственное значение у. При этом х называют независимой переменной (или аргументом), а область её изменения Х – область определения (или существования) функции у. Множеством значений, принимаемых у при изменении х, называется областью изменений у. (Рис.2.)
Обычно функции записывают: у = f(х) – «игрек есть эф от икс». Буквой f в этом равенстве обозначен именно закон (правило) соответствия между х и у.
Рис.
Графиком функции y = f(x) называется множество всех точек, у которых абсциссы принадлежат области определения функции, а ординаты равны соответствующим значениям функции. С помощью графика можно находить значение функции в точке. Именно, если точка х = а принадлежит области определения функции y = f(x), то для нахождения числа f(а) (т. е. значения функции в точке х = а) следует поступить так. Нужно через точку с абсциссой х = а провести прямую, параллельную оси ординат; эта прямая пересечет график функции y = f(x) в одной точке; ордината этой точки и будет, в силу определения графика, равна f(а) (рис. 47).
Например, для функции f(х) = х2 — 2x с помощью графика (рис. 46) находим f(-1) = 3, f(0) = 0, f(1) = -l, f(2) = 0 и т. д.
График функции наглядно иллюстрирует поведение и свойства функции. Например, из рассмотрения рис. 46 ясно, что функция у = х2— 2х принимает положительные значения при х < 0 и при х > 2, отрицательные – при 0 < x < 2; наименьшее значение функция у = х2 - 2х принимает при х = 1.
Для построения графика функции f(x) нужно найти все точки плоскости, координаты х, у которых удовлетворяют уравнению y = f(x). В большинстве случаев это сделать невозможно, так как таких точек бесконечно много. Поэтому график функции изображают приблизительно - с большей или меньшей точностью. Самым простым является метод построения графика по нескольким точкам. Он состоит в том, что аргументу х придают конечное число значений - скажем, х1, х2, x3 ,..., хk и составляют таблицу, в которую входят выбранные значения функции.
Функция f(x) называется четной, если для каждого х из области определения Df функции f(x) выполняется равенство f(-x) = f(x);
Функция f(x) называется нечетной, если для каждого х из области определения Df функции f(x) выполняется равенство f(-x) = -f(x).
В природе и технике достаточно часто встречаются процессы, которые периодически повторяются с течением времени. Периодически изменяющиеся величины описывают с помощью периодических функций.
Функция f ( x ) - периодическая, если существует такое отличное от нуля число T , что для любого x из области определения функции имеет место:
f ( x + T ) = f ( x ). Число Т называется периодом функции. Наименьший положительный период называется основным (главным) периодом. Из равенства f ( x + T ) = f( x ) следует, что для всякого х?Df и (х+Т) ? Df , т.е. Df- периоди-ческое множество. Все тригонометрические функции являются периодическими.
Монотонность;
Функция f (x) называется возрастающей на промежутке D, если для любых чисел x1 и x2 из промежутка D таких, что x1 < x2, выполняется неравенство f (x1) < f (x2).
Функция f (x) называется убывающей на промежутке D, если для любых чисел x1 и x2 из промежутка D таких, что x1 < x2, выполняется неравенство f (x1) > f (x2). Если функция возрастает или убывает на некотором промежутке, то она называется
Функция называется ограниченной, если существует такое положительное число M, что |f(x)| ? M для всех значений x . Если такого числа не существует, то функция – неограниченная.
4. Основные (простейшие) элементарные функции, их свойства(области определения и значений, монотонность, четность-нечетность, периодичность) и графики. Класс элементарных функции. Примеры неэлементарных функции.
Свойства функций
Область определения и значений;
Задавая функцию формулой, необходимо указывать и область ее задания, т. е. совокупность значений аргумента, при которых данная функция имеет смысл, существует.
Пусть задано числовое множество D R. Если каждому числу x D поставлено в соответствие единственное число y, то говорят, что на множестве D задана числовая функция.
Множество D называется областью определения функции и обозначается D (f (x)).
D(f±g)=D(f)?D(g)
D(f?g)=D(f)?D(g)
D()=D(f)?D(g)\{x,g(x)=0}
D(f°g)={xD(g)|g(x)D(f)}
2.
Множество значений;
Множеством (областью) значений Е(y) функции у = f(x) называется множество всех таких чисел у0, для каждого их которых найдется число х0, такое что
f(x0) = у0.
3.
Нули функции
Значение аргумента, при котором функция равна 0, называется нулём ( корнем ) функции. Функция может иметь несколько нулей. Геометрически – нуль функции – это абсцисса точки пересечения графика функции с осью Х .
4.
Четность
Функция f(x) называется четной, если для каждого х из области определения Df функции f(x) выполняется равенство f(-x) = f(x);
Функция f(x) называется нечетной, если для каждого х из области определения Df функции f(x) выполняется равенство f(-x) = -f(x).
Из равенств f(-x)= f(x) или f(-x)=-f(x) следует:
1.
Область определения Df функции f(x) есть множество, симметричное относительно точки ноль, т. е. для всякого x и -x;
2.
Значения функции f(x) в симметричных точках совпадают или противоположны.
Понятия четной или нечетной функции можно вводить, и исходя из геометрических представлений о симметрии:
функция f(x), график которой симметричен относительно оси ординат, называется четной;
функция f(x), график которой симметричен относительно начала координат, называется нечетной.
5.
Периодичность;
В природе и технике достаточно часто встречаются процессы, которые периодически повторяются с течением времени. Периодически изменяющиеся величины описывают с помощью периодических функций.
Функция f ( x ) – периодическая, если существует такое отличное от нуля число T , что для любого x из области определения функции имеет место:
f ( x + T ) = f ( x ). Число Т называется периодом функции. Наименьший положительный период называется основным (главным) периодом. Из равенства f ( x + T ) = f( x ) следует, что для всякого х?Df и (х+Т) ? Df , т.е. Df- периоди-ческое множество. Все тригонометрические функции являются периодическими.
6.
Монотонность;
Функция f (x) называется возрастающей на промежутке D, если для любых чисел x1 и x2 из промежутка D таких, что x1 < x2, выполняется неравенство f (x1) < f (x2).
Функция f (x) называется убывающей на промежутке D, если для любых чисел x1 и x2 из промежутка D таких, что x1 < x2, выполняется неравенство f (x1) > f (x2). Если функция возрастает или убывает на некотором промежутке, то она называется монотонной на этом промежутке.
Заметим, что если f – монотонная функция на промежутке D (f (x)), то уравнение f (x) = const не может иметь более одного корня на этом промежутке.
Класс элементарных функций является: степенная функция y= xa , а = действительное число, показательная функция y= ах , а >0, а ?1, логарифмическая функция y= loga x, а ?1, тригонометрические функции y= sin x, y= cos x, у= tg x, y = ctg x, обратные тригонометрические функции y= arcsin x, y= arccos x, у=arctg x, y = arcctg x
Примеры неэлементарных функций
5. Числовая последовательность. Определение предела последовательности, его геометрическая интерпретация. Сходящиеся последовательности. Сформулируйте основные свойства предела последовательности:предел постоянный, единственность предела, ограниченность сходящейся последовательности (необходимое условие сходимости),теорема Вейерштрасса(достаточное условие сходимости последовательности). Доказать два их них.
Числовой последовательностью называется упорядоченное счетное множество чисел {x1, x2, x3, … }.
Начиная с некоторого члена все последующие члены последовательности попадают в окрестности точки a с радиусом E
Свойство 1 (единственность предела).
Если последовательность имеет предел, то он единственен.
Действительно, если предположить, что последовательность имеет два различных предела , то для достаточно малого -окрестности этих точек не будут пересекаться. Следовательно, какой номер мы бы ни выбрали, все следующие за элементы последовательности не могут находиться одновременно и в одной и в другой -окрестностях.
Свойство 2 (ограниченность сходящейся последовательности).
Если последовательность имеет предел, то она ограничена.
Пусть . Ограниченность означает, что существует такое , что все элементы последовательности будут находиться в интервале .
Найдем такое . Для произвольно выбранного найдется такой, что, начиная с этого номера, все элементы последовательности содержатся в -окрестности точки . Вне этой окресности лишь конечное число первых элементов. Осталось взять таким большим, чтобы охватить все эти, оказавшиеся вне -окрестности элементы.
Ограниченность доказана.
Свойство 3 (арафметические операции с последовательностями).
Если последовательности и имеют пределами числа и соответственно
,
то:
1.Предел суммы равен сумме пределов .
2. Постоянная выносится за знак предела .
3. Предел произведения равен произведению пределов .
4. Если , то предел частного равен частному пределов.
.
Теорема Вейерштрасса. (Основная теорема теории последовательностей).
Если последовательность является нестрого возрастающей (нестрого убывающей) и ограничена сверху (снизу), то является сходящейся.
Данную теорему можно сформулировать немного иначе – Любая монотонная и ограниченная последовательность имеет предел.
6. Определение числа «е» (сформулировать теорему о существовании соответствующего предела последовательности). Определение гиперболической функции, их простейшие свойства и графики. Основные тождества, связывающие гиперболические функции.
Постоянное число е называется пределом последовательности {xn}, если для любого сколь угодно малого положительного числа ? > 0 существует номер N, что все значения xn, у которых n>N, удовлетворяют неравенству
|xn -е| < ?. Записывают это следующим образом: или xn
Теорема . Если существует каждый предел
Гиперболи?ческие фу?нкции — семейство элементарных функций, выражающихся через экспоненту и тесно связанных с тригонометрическими функциями.
Гиперболические функции задаются следующими формулами:
гиперболический синус:
(в зарубежной литературе обозначается sinhx)
гиперболический косинус:
(в зарубежной литературе обозначается coshx)
гиперболический тангенс:
(в зарубежной литературе обозначается tanhx).
гиперболический котангенс:
,
Гиперболические функции выражаются через тригонометрические функции от мнимого аргумента1.
.
.
Производные функции Гудермана и обратной функции Гудермана1:
Важные тождества
Чётность:
; ;
Формулы сложения:
;
Формулы двойного угла:
Формулы понижения степени
;
Производные:
; ;; ;
Интегралы:
;
; ;
Разложение в степенные ряды.
Графики гиперболических функций даны на рисунке
7. Общее определение предела функции по Коши при произвольном стремлении аргумента. Расшифровка определения и геометрическая интерпретация предела для случаев: xa ,xa+ ,xa- ,x? ,x? ,x?. Связь между пределами функции при односторонних и двустороннем стремлении аргумента.
Согласно определению предела функции по Коши:
если дана функция и — предельная точка множества Число называется пределом функции при стремящемся к , если
8. Сформулировать теоремы о пределе функции : (а) о единственности предела; (б) о замене переменной в пределе(о пределе сложной функции) доказать одну из них.
Теорема (о единственности предела). Если — предел последовательности и — предел последовательности , то .
Доказательство. Предположим, что . Возьмем . Найдется такой номер , что
также существует
Возьмем , которое больше и . Тогда
Обозначение. есть предел :
, — стремится (сходится) к ,
Теорема (о пределе сложной функции). Если существует конечный предел
а функция f(u) непрерывна в точке , то
9. Сформулировать теоремы о локальных свойствах предела функции (а) о локальной ограниченности функции, имеющей предел;(б) о локальной знакоопределенности функции, имеющий предел, отличный от нуля (о сохранении функцией знака своего предела). Доказать одну из них.
Теорема о локальной ограниченности функции, имеющей при конечный предел
: ,
т.е. если функция при имеет конечный предел, то существует окрестность точки , на которой множество значений функции есть ограниченное числовое множество.
Доказательство. Поскольку к.ч., то для любого , в том числе для , существует так, что для , т.е. , где или .
Заметим, что обратное утверждение неверно, т.е. если функция локально ограничена на , то необязательно существует и равен конечному значению.
о локальной знакоопределенности функции, имеющий предел, отличный от нуля (о сохранении функцией знака своего предела). Пусть функции и имеют пределы при одной и той же базе :
Тогда функция также имеет предел при базе , и этот предел равен произведению пределов сомножителей:
10. Сформулировать теоремы (а) о предельном переходе в неравенстве;(б) о пределе промежуточной функции. Доказать одну из них.
Теорема о предельном переходе в неравенстве. Если элементы сходящейся последовательности {xn}, начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству xn ? b (xn ? b), то и предел a этой последовательности удовлетворяет неравенству a ? b (a ? b).
Доказательство. Пусть все элементы xn, по крайней мере начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству xn ? b. Требуется доказать неравенство a ? b. Предположим, что a < b. Поскольку a - предел последовательности {xn}, то для положительного ? = b - a можно указать номер Nтакой, что при n ? N выполняется неравенство |xn - a| < b - a. Это неравенство эквивалентно следующим двум неравенствам: -(b - a) < xn - a < b -a. Используя правое из этих неравенств, получим xn < b, а это противоречит условию теоремы. Случай xn ? b рассматривается аналогично. Теорема доказана
Теорема о пределе промежуточной функци. Если имеет место соотношение и , , то и
11. Определение бесконечности малой функции при данном стремлении аргумента, расшифровка для конкретных стремлении. Доказать теорему о связи функции, ее предела и бесконечно малой при некотором стремлении аргумента. Сформулировать свойства бесконечно малых функций. Доказать два из них: теорему о сумме бесконечно малых и теорему о произведение бесконечно малой на локально ограниченную.
Функция f(x) называется бесконечно малой при х?а, где а может быть числом или одной из величин ?, +? или -?, если .
Бесконечно малой функция может быть только если указать к какому числу стремится аргумент х. При различных значениях а функция может быть бесконечно малой или нет.
Пример. Функция f(x) = xn является бесконечно малой при х?0 и не является бесконечно малой при х?1, т.к. .
Теорема. Для того, чтобы функция f(x) при х?а имела предел, равный А, необходимо и достаточно, чтобы вблизи точки х = а выполнялось условие
f(x)=A+?(x),
где ?(х) – бесконечно малая при х ? а (?(х)?0 при х ? а).
Свойства бесконечно малых функций.
1.
Сумма фиксированного числа бесконечно малых функций при х?а тоже бесконечно малая функция при х?а.
2.
Произведение фиксированного числа бесконечно малых функций при х?а тоже бесконечно малая функция при х?а.
3.
Произведение бесконечно малой функции на функцию, ограниченную вблизи точки х = а является бесконечно малой функцией при х?а.
4.
Частное от деления бесконечно малой функции на функцию, предел которой не равен нулю есть величина бесконечно малая.
Теорема 1. Для того, чтобы функция f(x) при х?а имела предел, равный А, необходимо и достаточно, чтобы вблизи точки х = а выполнялось условие
f(x)=A+?(x), где ?(х) – бесконечно малая при х ? а (?(х)?0 при х ? а).
Представимf(x)=A+?(x),g(x)=B+?(x),где , тогда
f(x)?g(x)=(A+B)+?(x)+?(x), A+B=const,?(х)+?(х)–бесконечно малая, значит
Теорема доказана.
Теоремы 2. Представим f(x) = A + ?(x), g(x) = B + ?(x), где
,тогда
A?B = const, ?(х) и ?(х) – бесконечно малые, значит
Теорема доказана.
12. Сформулировать арифметические теоремы о пределах(предел суммы, произведения и частного двух функции). Доказать две из них.
1)Предел суммы двух функций равен сумме их пределов:
Теорема о произведении. Предел произведения двух функций равен произведению их пределов:.
Доказательство:
Пусть ,. Тогда и . Следовательно
,
.
Выражения в скобках, по свойствам бесконечно малых функций, - бесконечно малая функция. Тогда , т.е..
Теорема о частном. Предел частного двух функций равен пределу делимого, деленного на предел делителя, если предел делителя не равен:.
Доказательство:
Пусть ,. Тогда и . Тогда. По свойствам бесконечно малых функций, второе слагаемое – бесконечно малая функция.
Поэтому , т.е.
13. Определение бесконечно большой функции при данном стремлении аргумента. Расшифровка и геометрическая интерпретация для конкретных стремлении. Доказать теорему о связи бесконечной большой и бесконечной малой функции.
Функция называется бесконечно большой при х?а, где а – число или одна из величин ?, +? или -?, если , где А – число или одна из величин ?, +? или -?.
1. Функция f(x)=(x-1)2 является бесконечно малой при x?1, так как
2. Функция f(x) = tgx – бесконечно малая при x?0.
3. f(x) = ln (1+x)– бесконечно малая при x?0.
4. f(x) = 1/x– бесконечно малая при x??.
Теорема о связи между бесконечно большой и бесконечно малой функциями:
Если функция - функция бесконечно малая (), то функция есть бесконечно большая функция и наоборот.
Доказательство:
Пусть - бесконечно малая функция при , т.е. . Тогда для любого числа существует такое число , что для всех , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство , т.е. , т.е. , где . А из этого следует, что функция - бесконечно большая.
14. Доказать теорему о «первом замечательном пределе». Сформулировать ее следствия. Доказать два из них.
Первым замечательным пределом называется предел
Следствия из первого замечательного предела
1° ;
2°
3°
4°
15. Сформулировать теорему о «втором замечательном пределе» и ее следствия. Доказать два из них.
Теорема. Последовательность (1+)n где, n= 1,2………………………….стремиться к конечному пределу, заключенному между числами 2 и 3.
Следствие 1. Доказательство:
Следствие 2.
Следствие 3.
Следствие 4. Доказательство:
16. Сравнение функции при данном стремлении аргумента, определение отношений «» «о-малое» и «0-большое», примеры. Сформулировать теоремы об эквивалентных функциях(свойства отношения эквивалентности). Доказать две из них. Определение порядка малости(или роста) одной функции относительно другой при данном стремлении аргумента. Привести примеры.
( О – большое ) Рассматриваются функции . Говорят, что функция есть
О-большое от функции в окрестности точки ,
обозначение ,если .
(о–маленькое) Функция есть о-малое от функции в окрестности точки , обозначение , если .
?о(1) – бесконечно малая функция .
Теорема 3. Для любого отношения эквивалентности на множестве множество классов эквивалентности образует разбиение множества . Обратно, любое разбиение множества задает на нем отношение эквивалентности, для которого классы эквивалентности совпадают с элементами разбиения.
Покажем, что отношение эквивалентности на множестве определяет некоторое разбиение этого множества. Убедимся вначале, что любые два класса эквивалентности по отношению либо не пересекаются, либо совпадают.
Пусть два класса эквивалентности и имеют общий элемент . Тогда и . В силу симметричности отношения имеем , и тогда и . В силу транзитивности отношения получим . Пусть , тогда . Так как , то и, следовательно, .
Обратно, если , то в силу симметричности получим и в силу транзитивности — , то есть . Таким образом, .
Итак, любые два не совпадающих класса эквивалентности не пересекаются. Так как для любого справедливо (поскольку ), т.е. каждый элемент множества принадлежит некоторому классу эквивалентности по отношению , то множество всех классов эквивалентности по отношению образует разбиение исходного множества . Таким образом, любое отношение эквивалентности однозначно определяет некоторое разбиение.
Теперь пусть — некоторое разбиение множества . Рассмотрим отношение , такое, что имеет место тогда и только тогда, когда и принадлежат одному и тому же элементу данного разбиения:
Очевидно, что введенное отношение рефлексивно и симметрично. Если для любых и имеет место и , то и в силу определения отношения принадлежат одному и тому же элементу разбиения. Следовательно, и отношение транзитивно. Таким образом, — эквивалентность на .
Функция a(x) называется бесконечно малой при (или при , или при ), если ., ;.
17. Записать вывести эквивалентности(при x) для функции: sinx,tgx,arcsinx,arctgx,1-cosx,a^x-1,,, а также для многочлена Р(х) при x и х(т.е для каждой из этих функций указать эквивалентную ей функцию вида ). Применение эквивалентностей для вычисления пределов. Примеры.
Если то ? и ? называются эквивалентными бесконечно малыми (при х?x0); это обозначается так: ?~?.
Например, sinx~х при х?0, т.к при x?0, т. к.
Теорема 18.1 . Предел отношения двух бесконечно малых функций не изменится, если каждую или одну из них заменить эквивалентной ей бесконечно малой.
Теорема 18.2 . Разность двух эквивалентных бесконечно малых функций есть бесконечно малая более высокого порядка, чем каждая из них.
Справедливо и обратное утверждение: если разность б.м.ф. ? и ? есть бесконечно малая высшего порядка, чем ? или ?, то ? и ? — эквивалентные бесконечно малые.
Действительно, так как
т. е. Отсюда т. е. ?~?. Аналогично, если то ?~?.
Теорема 18.3 . Сумма конечного числа бесконечно малых функций разных порядков эквивалентна слагаемому низшего порядка.
Докажем теорему для двух функций. Пусть ??0, ??0 при х?хо, причем ? — б.м.ф. высшего порядка, чем ?, т. е. . Тогда
Следовательно, ?+?~? при х?х0.
Слагаемое, эквивалентное сумме бесконечно малых, называется главной частью этой суммы.
Замена суммы б.м.ф. ее главной частью называется отбрасыванием бесконечно малых высшего порядка.
<< Пример 18.5
Найти предел
Решение:
поскольку
3х+7х2~3х и sin2х~2х при х?0.
Для раскрытия неопределённостей вида 0/0 часто бывают полезным применять принцип замены бесконечно малых эквивалентными и другие свойства эквивалентных бесконечно малых функций. Как известно, sinx~х при х?0, tgx~х при х?0.
18. Определение непрерывности функции в точке, равносильные формулировки. Односторонняя непрерывность в точке, ее связь с (обычной) непрерывностью в точке. Доказать теорему о переходе к пределу под знаком непрерывной функции. Сформулировать теоремы о непрерывности суммы, произведения и частного двух непрерывных функции. Доказать одну из них. Доказать теорему о непрерывности композиции двух непрерывных функций. Сформулировать теорему о непрерывности основных элементарных функции. Доказать непрерывность многочлена и функции sinx. Сформулировать локальные свойства функции, непрерывной в точке (а) локальная ограниченность;(б) локальное знакопостоянство (если 0). Доказать одно из них.
Функция называется непрерывной в точке , если:
1. функция определена в точке и ее окрестности;
2. существует конечный предел функции в точке ;
3. это предел равен значению функции в точке , т.е.
Теорема о непрерывности суммы, произведения и частного двух непрерывных функции.:
Сумма, произведение и частное двух непрерывных функций – непрерывны.
Доказательство:
Докажем для произведения.
Пусть . Тогда, по теореме о пределе произведения:
.
Теорема:
Пусть функция непрерывна в точке , а функция непрерывна в точке . Тогда сложная функция , состоящая из непрерывных функций, непрерывна в точке .
Доказательство:
Т.к. - непрерывна, то , т.е. при имеем . Поэтом (т.к. - непрерывна) имеем:
Функция называется элементарной, если она построена из конечного числа композиций и комбинаций
(с использованием 4 действий - сложение, вычитание, умножение и деление) основных элементарных функций.
19. Определение функции, непрерывной на интервале, полуинтервале, отрезке. Сформулировать теоремы о свойствах функции, непрерывной на отрезке. Привести примеры, иллюстрирующие существенность условий в формулировках этих теорем. Сформулировать теорему о непрерывности функции, обратной к монотонной и непрерывной функции.
Функция называется непрерывной на отрезке , если она непрерывна во всех точках интервала , непрерывна справа в точке и непрерывна слева в точке .
Всякая функция, непрерывная на отрезке I = [a, b], оганичена на отрезке I.
Теорема Вейерштрасса. Для каждой функции, непрерывной на I = [a, b], существуют m = f (x), M = f (x).
Теорема Коши о прохождении через нуль. Если f непрерывна на [a, b] и f (a) > 0, f (b) < 0, то существует точка x ? [a, b], в которой f обращается в нуль (аналогичное утверждение имеет место в случае f (a) < 0, f (b) > 0).
Теорема о промежуточном значении. Пусть f непрерывна на [a, b], и пусть m = f (x) < f (x) = M и ? ? (m, M). Тогда существует точка x0 ? (a, b), в которой f (x0) = ?.
Функция f называется убывающей (возрастающей) на [a, b] ? D( f ), если для любых x1, x2 ? [a, b] таких, что x1 < x2, имеет место неравенство f (x1) ? f (x2) ( f (x1) ? f (x2)). Функция f называется строго убывающей(строго возрастающей) на [a, b], если для любых x1, x2 ? [a, b] таких, что x1 < x2, имеет место неравенство f(x1) > f (x2) (f (x1) < f (x2)).
Теорема: Если функция является непрерывной и строго монотонной на отрезке , которые лежит на оси абсцисс, то и обратная функция также непрерывна и монотонна на некотором отрезке оси ординат.
20. Определение точки разрыва функции. Классификация точек разрыва. Примеры.
Точка , в которой нарушено хотя бы одно из трех условий непрерывности функции, а именно:
1. функция определена в точке и ее окрестности;
2. существует конечный предел функции в точке ;
3. это предел равен значению функции в точке , т.е. называется точкой разрыва функции.
Существует три типа классификаций точек разрыва функций.
Точка называется точкой устранимого разрыва функции , если данная функция не является непрерывной в точке и если существует предел
Возможно, что функция определена в точке устранимого разрыва , тогда
Функция может быть неопределённой в точке .
Пример. Функция
имеет устранимый разрыв в точке . Можно так доопределить функцию в точке устранимого разрыва, что она станет непрерывной. Например, следующая функция является непрерывной в точке :
Точка называется точкой конечного разрыва (точкой разрыва I –го рода) функции , если существуют пределы функции слева и справа от точки , не равные друг другу. То есть, если
Пример. Функция
имеет конечный разрыв в точке .
Точка называется точкой разрыва II – го рода (точкой бесконечного разрыва) функции , если не существует, по крайней мере, одного из односторонних пределов функции в точке или хотя бы один из односторонних пределов бесконечен.
Пример. Функция
имеет в точке разрыв второго рода. Разрывы первого и второго рода устранить нельзя.
21. Определение асимптот. Виды асимптот. Критерий существования горизонтальной и вертикальной асимптот. Вывести формулы для вычисления коэффициентов уравнения наклонной асимптоты.
Назовём асимптотами прямые линии, к которым неограниченно приближается график функции, когда точка графика неограниченно удаляется от начала координат. В зависимости от поведения аргумента при этом, различаются два вида асимптот: вертикальные и наклонные.
Вертикальной асимптотой графика функции называется вертикальная прямая , если или при каком-либо из условий: , , . Заметим, что мы при этом не требуем, чтобы точка принадлежала области определения функции , однако она должна быть определена по крайней мере в какой-либо из односторонних окрестностей этой точки: или , где .
В случае, если наклонная асимптота расположена горизонтально, то есть при , она называется горизонтальной асимптотой. Таким образом, горизонтальная асимптота -- частный случай наклонной асимптоты; прямая является горизонтальной асимптотой графика при или , если
Для нахождения наклонной асимптоты сначала определяют угловой коэффициент k, а потом отрезок b, отсекаемый асимптотой на оси Oy. Выведем формулы для вычисления k и b.
Запишем условие (3) в виде
При x ? +? слагаемое стремится к нулю, а потому (4)
Теперь из уравнения f(x) = kx + b + ? находим b: b = f(x) - kx - ? или, так как ,
(5)
Если пределы (4) и (5) существуют, то кривая имеет при x?+? асимптоту
y = kx + b,
где k и b находятся по формулам (4) и (5). Для x?-? формулы такие же, но пределы находятся при x?-?.
При k = 0 получаем уравнение y = b горизонтальной асимптоты, причем
22. Определение производной функции в точке, ее геометрический, механический (или общенаучный) и экономический смысл. Определение касательной и нормали к графику функции. Уравнения касательной и нормали. Определение дифференцируемости функции в точке. Доказать теоремы о связи дифференцируемости и (а) существования конечной производной;(б) непрерывности функции в точке.
Геометрический смысл производной функции заключается в следующем: Производная функции в точке x0 равна угловому коэффициенту касательной к графику функции, проведенной в точке с абсциссой x0.
Механический смысл
скорость это производная по расстоянию, ускорение производная по скорости и вторая производна по расстоянию.. .
Уравнение касательной к графику функции f в точке x0
y=f(x0)+f `(x0)(x-x0)
Касательная к графику функции есть предельное положение секущей при стремлении приращения аргумента к нулю. Следует понимать, что существование производной функции f в точке х0, означает, что в этой точке графика существуеткасательная к нему. Нормаль -- это перпендикуляр к касательной.
Уравнение касательной
Попытаемся получить уравнение касательной к графику некоторой функции f в точке А(x0; f(x0)). Уравнение прямой с угловым коэффициентом k имеет следующий вид:
y = k*x + b.
Так как у нас угловой коэффициент равен производной f’(x0), то уравнение примет следующий вид: y = f’(x0)*x + b.
Теперь вычислим значение b. Для этого используем тот факт, что функция проходит через точку А.
f(x0) = f’(x0)*x0 + b, отсюда выражаем b и получим b = f(x0) – f’(x0)*x0.
Подставляем полученное значение в уравнение касательной:
y = f’(x0)*x + b = f’(x0)*x + f(x0) – f’(x0)*x0 = f(x0) + f’(x0)*(x - x0). y = f(x0) + f’(x0)*(x - x0).
Определение Функция y=f(x) называется дифференцируемой в точке x0, если ее приращение ?y в точке x0 может быть представлено в виде: ?y=A·?x+?(?x)·?x, где A -- некоторое число, независящее от ?x, а ?(?x)-- бесконечно малая функция от переменной ?x, т.е. lim?x?0?(?x)=0.
А)Теорема Пусть функция f имеет конечную производную f' в каждой точке конечного или бесконечного интервала ]a, b[ и . Доказать, что f'(c) = 0, где c - некоторая точка интервала ]a,b[.
Решение.
Пусть интервал ]a, b[ конечен и , C = const. Рассмотрим функцию
Она непрерывна на сегменте [a, b] и имеет конечную производную на интервале ]a, b[, причем F(a) = F(b). По теореме Ролля на интервале ]a, b[ найдется такая точка c, что F'(c) = f'(c) = 0.
Если интервал ]a, b[ бесконечный, то, в силу существования конечной производной функции f, непрерывности функции f и существования конечных, равных между собой, ее предельных значений при x? a + 0 и x ? b - 0, при достаточно малом ? > 0 прямая y = C + ? или прямая y = C – ? пересечет кривую y =f(x), по меньшей мере, в двух точках, которые обозначены c1 и c2. Для функции f на сегменте [c1, c2] выполнены все условия теоремы Ролля, поэтому на интервале ]c1, c2[ (а значит, и на интервале ]a, b[ ) найдется такая точка c, что f'(c) = 0.
Б) Теорема Если функции f и g непрерывны в точке а из Д, то будут непрерывными в этой точке функции f+g, f*g, f/g, (g(a)/=0)
Доказательство: Если а – изолированная точка множества Д, то теорема выполняется по определению непрерывности функции в точке. Если а – предельная точка, то непрерывность f и g в точке а означает, чтоlimx?af(x)=f(a) и limx?ag(x)=g(a), поэтому по теореме об операциях над функциями имеющими конечный предел, получим limx?a(f+g)(x)=(f+g)(a),limx?a(fg)(x)=(fg)(a),limx?a(fg)(x)=(fg)(a) Полученные равенства и означают непрерывность функций f+g, f*g, f/g.
23. Односторонние производные. Связь односторонних производных с обычной (двусторонней). Определение бесконечной производной функции и ее геометрическая интерпретация.
Односторонние производные – обобщение понятия производной, в которой обычный предел заменяется односторонним пределом.
Функция имеет производную на интервале или называется дифференцируемой в этом интервале, если производная существует в каждой точке этого интервала. Функция имеет в точке бесконечную производную, если в этой точке .
Геометрическая интерпретация: Если на графике функции подвижная точка P (x, y) стремится к точке P0(x0, y0), то изменяется также угловой коэффициент секущей. Если существует производная функции f в точкеx0, то прямую, проходящую через точку P0 (x0, y0) и такую, что tg (?) = f ‘(x0), где ? — угол наклона этой прямой, называют касательной к графику функции f в точке P0 (x0, y0). таким образом уравнение касательной есть y – f (x0) = f ‘(x0)(x – x0).
24. Сформулировать правила дифференцирования суммы, произведения и частного двух функции. Доказать два из них. Доказать теоремы о производной(а) сложной и (б) обратной степенной, тригонометрических и гиперболических функций.
Для доказательства второго правила дифференцирования воспользуемся определением производной и свойством предела непрерывной функции.
Подобным образом можно доказать, что производная суммы (разности) n функций равна сумме (разности) n производных
Докажем правило дифференцирования произведения двух функций .
Запишем предел отношения приращения произведения функций к приращению аргумента. Будем учитывать, что и (приращение функции стремиться к нулю при приращении аргумента, стремящемся к нулю).
Что и требовалось доказать
25. Определение эластичности одной экономической величины по отношению к другой, связь с производной. Логарифмическое дифференцирование(предварительное логарифмирование) и его применение Нахождение производной функций вида . Дифференцирование произведений и дробей с большим числом сомножителей в числителе и знаменателе. Производные высших порядков .Физический смысл второй производной. Дифференцирование функции, заданной неявно. Нахождение первой и второй производной функции, заданной параметрически.
Эластичностью функции Ex(y) называется величина
Предположим, что функциональная зависимость от не задана непосредственно , а через промежуточную величину — . Тогда формулы
задают параметрическое представление функции одной переменной.
Пусть функция задана в параметрической форме, то есть в виде:
где функции и определены и непрерывны на некотором интервале изменения параметра . Найдем дифференциалы от правых и левых частей каждого из равенств:
Далее, разделив второе уравнение на первое, и с учетом того, что , получим выражение для первой производной функции, заданной параметрически:
Для нахождения второй производной выполним следующие преобразования:
26. Определение дифференциала функции, его геометрический смысл. Сформулировать правила нахождения дифференциала суммы, произведения и частного двух функции. Доказать два из них. Доказать инвариантность формы первого дифференциала. Определение дифференциалов высших порядков.
Дифференциалом функции называется линейная часть приращения функции
относительно приращения аргумента
Геометрический смысл дифференциала:
Проведем к графику функции в точку касательную и рассмотрим ординату этой касательной для точки . На рисунке , . Из прямоугольного треугольника имеем: , т.е. . Но, согласно геометрическому смыслу производной, . Поэтому или . Это означает, что дифференциал функции в равен приращению ординаты касательной к графику функции в этой точке, когда получает приращение.
Приближенные вычисления:; ;
Для доказательства второго правила дифференцирования воспользуемся определением производной и свойством предела непрерывной функции.
Подобным образом можно доказать, что производная суммы (разности) n функций равна сумме (разности) n производных
Докажем правило дифференцирования произведения двух функций .
Запишем предел отношения приращения произведения функций к приращению аргумента. Будем учитывать, что и (приращение функции стремиться к нулю при приращении аргумента, стремящемся к нулю).
Что и требовалось доказать.
27. Определение экстремума функции. Доказать теорему Ферма(необходимое условие экстремума). Определение критической и стационарной точек функции.
Функция y = f(x) называется возрастающей (убывающей) в некотором интервале, если при x1< x2 выполняется неравенство (f(x1) < f (x2) (f(x1) > f(x2)).
Если дифференцируемая функция y = f(x) на отрезке [a, b] возрастает (убывает), то ее производная на этом отрезке f ‘(x) > 0
(f ‘ (x) < 0).
Точка xо называется точкой локального максимума (минимума) функции f(x), если существует окрестность точки xо, для всех точек которой верно неравенство f(x) ? f(xо) (f(x) ? f(xо)).
Точки максимума и минимума называются точками экстремума, а значения функции в этих точках - ее экстремумами.
Внутренние точки области определения функции, в которых ее производная равна нулю или не существует, называются критическими точками этой функции. Эти точки играют важную роль при построении графика функции, поскольку только они могут быть точками экстремума функции (рис. 1 и 2). Сформулируем соответствующее утверждение, его называют теоремой Ферма (в честь французского математика Пьера Ферма).
Необходимое условие экстремума. Если точка хо является точкой экстремума функции f и в этой точке существует производная f’, то она равна нулю:F’(x0) =0.
Рассмотрим случай f'(x0)>0. По определению производной отношение
при х?х0 стремится к положительному числу f’ (х0), а следовательно, и само будет положительно при всех х, достаточно близких к x0. Для таких х
и, значит, f(x)>f(x0) для всех х>х0 из некоторой окрестности точки x0. Поэтому х0 не является точкой максимума.
Если же х<х0, то f (x)
, следовательно f ‘(x)?0.
2) Если f(x) убывает, то f(x+?x)
Док-во: Пусть при x