Зачет по математике-Операции над матрицами_22914

Операции над матрицами
Матрицы имеют важное значение в прикладной математике, так как позволяют записать в достаточно простой форме значительную часть математических моделей объектов и процессов. Термин «матрица» появился в 1850 году. Впервые упоминались матрицы еще в древнем Китае, позднее у арабских математиков.
Матрицей A=Amn порядка m*n называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m — строк и n — столбцов.

Элементы матрицы aij, у которых i=j, называются диагональными и образуют главную диагональ.
Для квадратной матрицы (m=n) главную диагональ образуют элементы a11, a22,…, ann .
Равенство матриц.
A=B, если порядки матриц A и B одинаковы и aij=bij (i=1,2,…,m; j=1,2,…,n)
Действия над матрицами.
1. Сложение матриц — поэлементная операция

2. Вычитание матриц — поэлементная операция

3. Произведение матрицы на число — поэлементная операция

4. Умножение A*B матриц по правилу строка на столбец (число столбцов матрицы А должно быть равно числу строк матрицы B)
Amk*Bkn=Cmn причем каждый элемент сij матрицы Cmn равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы А на соответствующие элемеенты j-го столбца матрицы B , т.е.

Покажем операцию умножения матриц на примере

5. Возведение в степень

m>1 целое положительное число. А — квадратная матрица (m=n) т.е. актуально только для квадратных матриц
6. Транспонирование матрицы А. Транспонированную матрицу обозначают AT или A’

Строки и столбцы поменялись местами
Пример

Свойства опрераций над матрицами
A+B=B+A
(A+B)+C=A+(B+C)
?(A+B)=?A+?B
A(B+C)=AB+AC
(A+B)C=AC+BC
?(AB)=(?A)B=A(?B)
A(BC)=(AB)C
(A’)’=A
(?A)’=?(A)’
(A+B)’=A’+B’
(AB)’=B’A’

Определители второго и третьего порядков
Определителем второго порядка называется число, полученное с помощью элементов квадратной матрицы 2-го порядка следующим образом:
                     .
При этом из произведения элементов, стоящих на так называемой главной диагонали матрицы (идущей из левого верхнего в правый нижний угол) вычитается произведение элементов, находящихся на второй, или побочной, диагонали.
 Примеры.

Определителем третьего порядка называется число, определяемое с помощью элементов квадратной матрицы 3-го порядка следующим образом:

 
Замечание. Для того, чтобы легче запомнить эту формулу, можно использовать так называемое правило треугольников. Оно заключается в следующем: элементы, произведения которых входят в определитель со знаком «+», располагаются так:
 
 образуя два треугольника, симметричных относительно главной диагонали. Элементы, произведения которых входят в определитель со знаком «-», располагаются аналогичным образом относительно побочной диагонали: 
 
 Примеры.

Применение матриц и определителей к решению систем линейных уравнений
При решении систем линейных уравнений применяются метод Крамера, матричный метод (метод обратной матрицы), метод Гаусса.
Метод Крамера применяется для решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), в которых число неизвестных переменных равно числу уравнений и определитель основной матрицы отличен от нуля. В этой статье мы разберем как по методу Крамера находятся неизвестные переменные. В матричном виде эта система может быть записана как A*X = B, где
A=(?(a_11&a_12&…&a_1n@a_21&a_22&…&a_2n@…&…&…&..@a_n1&a_n2&…&a_nn ))  — основная матрица системы, ее элементами являются коэффициенты при неизвестных переменных,  B=(?(b_1@b_2@…@b_n )) — матрица – столбец свободных членов, а  X=(?(x_1@x_2@…@x_n ))- матрица – столбец неизвестных переменных.
После нахождения неизвестных переменных x1, x2, …, xn, матрица X=(?(x_1@x_2@…@x_n )) становится решением системы уравнений и равенство A*X = B обращается в тождество A*X=B.
Будем считать, что матрица А – невырожденная, то есть, ее определитель отличен от нуля. В этом случае система линейных алгебраических уравнений имеет единственное решение, которое может быть найдено методом Крамера.
Алгоритм решения систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера.
Вычисляем определитель основной матрицы системы ?=|?(a_11&a_12&…&a_1n@a_21&a_22&…&a_2n@…&…&…&..@a_n1&a_n2&…&a_nn )|  и убеждаемся, что он отличен от нуля.
Находим определители ?_(x_1 )=|?(b_1&a_12&…&a_1n@b_2&a_22&…&a_2n@…&…&…&..@b_n&a_n2&…&a_nn )|; ?_(x_2 )=|?(a_11&b_1&…&a_1n@a_21&b_2&…&a_2n@…&…&…&..@a_n1&b_n&…&a_nn )|; ….
?_(x_n )=|?(a_11&a_12&…&b_1@a_21&a_22&…&b_2@…&…&…&..@a_n1&a_n2&…&b_n )|
 , которые являются определителями матриц, полученных из матрицы А заменой k-ого столбца (k = 1, 2, …, n) на столбец свободных членов.
Вычисляем искомые неизвестные переменные x1, x2, …, xn по формулам x_1=?_(x_1 )/?, .x_2=?_(x_2 )/?, …, x_n=?_(x_n )/?.
Выполняем проверку результатов, подставляя x1, x2, …, xn в исходную СЛАУ. Все уравнения системы должны обратиться в тождества. Можно также вычислить произведение матриц A ? X, если в результате получилась матрица, равная B, то решение системы найдено верно. В противном случае в ходе решения была допущена ошибка.
Пример.
Найдите решение неоднородной системы линейных алгебраических уравнений методом Крамера{?(3x_1-2x_2=5/6@2x_1+3x_2=2)? .
Решение.
Основная матрица системы имеет вид (?(3&-2@2&3)).
 . Вычислим ее определитель по формуле |?(a_11&a_12@a_21&a_22 )|=a_11*a_22-a_12*a_21.
?=|?(3&-2@2&3)|=3*3-(-2)*2=9+4=13
 :
Так как определитель основной матрицы системы отличен от нуля, то СЛАУ имеет единственное решение, и оно может быть найдено методом Крамера. Запишем определители ?_(x_1 )  и  ?_(x_2 ). Заменяем первый столбец основной матрицы системы на столбец свободных членов, и получаем определитель ?_(x_1 )=|?(5/6&-2@2&3)| . Аналогично заменяем второй столбец основной матрицы на столбец свободных членов, и получаем ?_(x_2 )=|?(3&5/6@2&2)|.
Вычисляем эти определители: ?_(x_1 )=|?(5/6&-2@2&3)|=5/6*3—2*2=5/2+4=13/2
?_(x_2 )=|?(3&5/6@2&2)|=3*2-5/6*2=6-5/3=13/3
Находим неизвестные переменные x1 и x2 по формулам x_1=?_(x_1 )/?, .x_2=?_(x_2 )/?, :
x_1=?_(x_1 )/?=(13/2)/13=1/2; x_2=?_(x_2 )/?=(13/3)/13=1/3

Выполним проверку. Подставим полученные значения x1 и x2 в исходную систему уравнений:
{?(3*1/2-2*1/3=5/6@2*1/2+3*1/3=2)??{?(5/6=5/6@2=2)?
Решение системы линейных алгебраических уравнений МАТРИЧНЫМ МЕТОДОМ определяется по формуле X=A^(-1)*B .
Пример.
С помощью обратной матрицы найдите решение системы линейных уравнений {?(3x_1-2x_2=5/6@2x_1+3x_2=2)?
Решение.
В матричной форме исходная система запишется как A=(?(3&-2@2&3)), X=(?(x_1@x_2 )), B=(?(5/6@2)). Вычислим определитель основной матрицы и убедимся, что он отличен от нуля. В противном случае мы не сможем решить систему матричным методом. Имеем |A|=|?(3&-2@2&3)|=3*3-(-2)*2=9+4=13?0 , следовательно, для матрицы А может быть найдена обратная матрица A^(-1) . Таким образом, если мы отыщем обратную матрицу, то искомое решение СЛАУ определим как X=A^(-1)*B . Итак, задача свелась к построению обратной матрицы A^(-1) . Найдем ее.
Мы знаем, что для матрицы A=(?(a_11&a_12@a_21&a_22 ))  обратная матрица может быть найдена как A^(-1)=1/|A| *(?(A_11&A_12@A_21&A_22 ))^T, где A_11, A_12, A_21, A_22 — алгебраические дополнения элементов a_11,  a_12, a_21, a_22.
В нашем случае A^(-1)=1/|A| *(?(A_11&A_12@A_21&A_22 ))^T=1/13*(?((-1)^(1+1)*3&(-1)^(1+2)*2@(-1)^(2+1)*(-2)&(-1)^(2+2)*3))^T=1/13*(?(3&-2@2&3))^T=1/13*(?(3&2@-2&3))=(?(3/13&2/13@-2/13&3/13))
Тогда X=A^(-1)*B=(?(3/13&2/13@-2/13&3/13))*(?(5/6@2))=(?(3/13*5/6+2/13*2@-2/13*5/6+3/13*2))=(?(1/2@1/3))
Выполним проверку полученного решения X=(?(x_1@x_2 ))=(?(1/2@1/3)), подставив его в матричную форму исходной системы уравнений A*X=B . Это равенство должно обратиться в тождество, в противном случае где-то была допущена ошибка.
(?(3&-2@2&3))*(?(1/2@1/3))=(?(5/6@2))?(?(3*1/2+(-2)*1/3@2*1/2+3*1/3))=(?(5/6@2))?(?(5/6@2))=(?(5/6@2)).
Метод Гаусса обладает рядом преимуществ по сравнению с другими методами:
нет необходимости предварительно исследовать систему уравнений на совместность;
методом Гаусса можно решать не только СЛАУ, в которых число уравнений совпадает с количеством неизвестных переменных и основная матрица системы невырожденная, но и системы уравнений, в которых число уравнений не совпадает с количеством неизвестных переменных или определитель основной матрицы равен нулю;
метод Гаусса приводит к результату при сравнительно небольшом количестве вычислительных операций.
Алгоритм метода Гаусса.
Пусть нам требуется решить систему из n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными переменными вида , и пусть определитель ее основной матрицы отличен от нуля.
Будем считать, что a_11?0 , так как мы всегда можем этого добиться перестановкой местами уравнений системы. Исключим неизвестную переменную x1 из всех уравнений системы, начиная со второго. Для этого ко второму уравнению системы прибавим первое, умноженное на -a_21/a_11  , к третьему уравнению прибавим первое, умноженное на -a_31/a_11 , и так далее, к n-ому уравнению прибавим первое, умноженное на -a_n1/a_11 . Система уравнений после таких преобразований примет вид
 
где , а .
К такому же результату мы бы пришли, если бы выразили x1 через другие неизвестные переменные в первом уравнении системы и полученное выражение подставили во все остальные уравнения. Таким образом, переменная x1 исключена из всех уравнений, начиная со второго.
Далее действуем аналогично, но лишь с частью полученной системы, которая отмечена на рисунке

Будем считать, что  (в противном случае мы переставим местами вторую строку с k-ой, где ). Приступаем к исключению неизвестной переменной x2 из всех уравнений, начиная с третьего.
Для этого к третьему уравнению системы прибавим второе, умноженное на , к четвертому уравнению прибавим второе, умноженное на , и так далее, к n-омууравнению прибавим второе, умноженное на . Система уравнений после таких преобразований примет вид

где , а . Таким образом, переменная x2 исключена из всех уравнений, начиная с третьего.
Далее приступаем к исключению неизвестной x3, при этом действуем аналогично с отмеченной на рисунке частью системы

Так продолжаем прямой ход метода Гаусса пока система не примет вид

С этого момента начинаем обратный ход метода Гаусса: вычисляем xn из последнего уравнения как x_n=(b_n^((n-1)))/(a_nn^((n-1)) ) , с помощью полученного значения xn находим xn-1 из предпоследнего уравнения, и так далее, находим x1 из первого уравнения.
Пример.
Найдите решение системы уравнений  методом Гаусса.
Решение.
Расширенная матрица системы имеет вид . Сверху над каждым столбцом записаны неизвестные переменные, которым соответствуют элементы матрицы.
Прямой ход метода Гаусса здесь предполагает приведение расширенной матрицы системы к трапецеидальному виду с помощью элементарных преобразований. Этот процесс схож с исключением неизвестных переменных, которое мы проводили с системой в координатной форме. Сейчас Вы в этом убедитесь.
Преобразуем матрицу так, чтобы все элементы в первом столбце, начиная со второго, стали нулевыми. Для этого к элементам второй, третьей и четвертой строк прибавим соответствующие элементы первой строки умноженные на ,  и на  соответственно: 

Далее полученную матрицу преобразуем так, чтобы во втором столбце все элементы, начиная с третьего стали нулевыми. Это будет соответствовать исключению неизвестной переменной x2. Для этого к элементам третьей и четвертой строк прибавим соответствующие элементы первой строки матрицы, умноженные соответственно на  и : 

Осталось исключить неизвестную переменную x3 из последнего уравнения системы. Для этого к элементам последней строки полученной матрицы прибавим соответствующие элементы предпоследней строки, умноженные на : 

Следует отметить, что эта матрица соответствует системе линейных уравнений
 
которая была получена ранее после прямого хода.
Пришло время обратного хода. В матричной форме записи обратный ход метода Гаусса предполагает такое преобразование полученной матрицы, чтобы матрица, отмеченная на рисунке 
 
стала диагональной, то есть, приняла вид 
 
где  — некоторые числа.
Эти преобразования аналогичны преобразованиям прямого хода метода Гаусса, но выполняются не от первой строки к последней, а от последней к первой.
Прибавим к элементам третьей, второй и первой строк соответствующие элементы последней строки, умноженные на -(11/5)/(56/19)=-209/280, на -(-4/3)/(56/19)=19/42 и на -1/(56/19)=-19/56 соответственно:

Теперь прибавим к элементам второй и первой строк соответствующие элементы третьей строки, умноженные на -(11/3)/(-19/5)=55/57 и на -1/(-19/5)=5/19 соответственно:

На последнем шаге обратного хода метода Гаусса к элементам первой строки прибавляем соответствующие элементы второй строки, умноженные на -2/(-5/3)=6/5:
Полученная матрица соответствует системе уравнений {?(3x_1=-9@-5/3 x_2=5/3@-19/5 x_3=-38/5@56/19 x_4=392/19)? , откуда находим неизвестные переменные.

Предел числовой последовательности
Предел числовой последовательности. Рассмотрим числовую последовательность, общий член которой приближается к некоторому числу  a  приувеличении порядкового номера  n. В этом случае говорят, что числовая последовательность имеет предел. Это понятие имеет более строгоеопределение.

Это определение означает, что  a  есть предел числовой последовательности, если её общий член неограниченно приближается к  a  при возрастании  n. Геометрически это значит, что для любого   > 0  можно найти такое число N,  что начиная с  n > N  все члены последовательности расположены внутри интервала ( a —  , a +  ). Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся; в противном случае – расходящейся.
Последовательность называется ограниченной, если существует такое число M, что | un  |  M  для всех  n . Возрастающая или убывающая последовательность называется монотонной.
Теорема Вейерштрасса. Всякая монотонная и ограниченная последовательность имеет предел (эта теорема даётся в средней школе без доказательства). 
Основные свойства пределов.  Нижеприведенные свойства пределов справедливы не только для числовых последовательностей, но и для функций.
Если { un } и { vn }  — две сходящиеся последовательности, то:

Если члены последовательностей { un }, { vn }, { wn } удовлетворяют неравенствам 

 Некоторые замечательные пределы. 

Понятие суммы числового ряда. Необходимое условие сходимости ряда. Гармонический ряд.
Сумма числового ряда a_1+a_2+…+a_n+… определяется как предел, к которому стремятся суммы первых n слагаемых ряда, когда n неограниченно растёт. Если такой предел существует и конечен, то говорят, что ряд сходится, в противном случае — что он расходится. Элементы ряда a_n  представляют собой комплексные числа (в частности,вещественные).
Пусть ?_(i=1)^???a_(i )=a_1+a_2+…?  — числовой ряд. Число S_n=a_1+a_2+…+a_n  называется n-ой частичной суммой ряда ?_(i=1)^??a_(i ) .
Сумма (числового) ряда — это предел частичных сумм S_n, если он существует и конечен. Таким образом, если существует число S=lim?(n??)??_(i=1)^n?a_i  , то в этом случае пишут ?_(i=1)^??a_(i ) =S . Такой ряд называется сходящимся. Если предел частичных сумм не существует или бесконечен, то ряд называется расходящимся.
Сходимость числовых рядов
Свойство 1. Если ряд    (1.1)
сходится и его сумма равна S, то ряд
  (1.2)
где c — произвольное число, также сходится и его сумма равна cS. Если же ряд (1.1) расходится и с ? 0, то ряд расходится.
Свойство 2. Если сходится ряд (1.1) и сходится ряд ?_(n=1)^??v_n , а их суммы равны S_1 и S_2 соответственно, то сходятся и ряды ?_(n=1)^????(u_n±v?_n)?, причём сумма каждого равна соответственно S_1±S_2.
НЕОБХОДИМЫЙ ПРИЗНАК СХОДИМОСТИ РЯДА
Ряд  u_1+u_2+u_3+…+u_n+… может сходиться лишь в том случае, когда член u_n (общий член ряда) стремится к нулю: lim?(n??)??u_n ?=0.
Это необходимый признак сходимости ряда (но не достаточный!). Если же общий член ряда не стремится к нулю — это достаточный признак расходимости.
Примеры
 где  — сумма геометрической прогрессии, в частности

 — гармонический ряд расходится.
 — телескопический ряд.
Гармонический ряд представляет собой сумму, составленную из бесконечного количества членов, обратных последовательным числам натурального ряда:
.
Ряд назван гармоническим, так как складывается из «гармоник»: -я гармоника, извлекаемая из скрипичной струны, — это основной тон, производимый струной длиной  от длины исходной струны.

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии
Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия — это прогрессия, у которой |q| < 1. Для неё определяется понятие суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии как число, к которому неограниченно приближается сумма  первых членов рассматриваемой прогрессии при неограниченном возрастании числа . Формула суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии: где, q ? 1 Пример. Задана геометрическая прогрессия 2,6,18,... Найти десятый член прогрессии и сумму её двенадцати первых членов. Признак Даламбера Пусть задана бесконечная последовательность чисел u_1, u_2, …, u_n, … . Выражение u_1+u_2+u_3+…+u_n+…  называется числовым рядом. При этом числа u_1, u_2, …, u_n, …  называются членами ряда. Числовой ряд часто записывают в виде ?_(n=1)^??u_n . Теорема (признак Даламбера). Если в ряде с положительными членами u_1, u_2, …, u_n, …   отношение (n+1)-го члена ряда к n-му при n?? имеет конечный предел D, т.е. lim?(n??)??u_(n+1)/u_n =D? то: -ряд сходится в случае D<1 , -ряд расходится в случае D>1.
В случаях, когда предел не существует или он равен единице, ответа на вопрос о сходимости или расходимости числового ряда теорема не дает. Необходимо провести дополнительное исследование.
 Пример. Исследовать сходимость ряда ?_(n=1)^??3^n/n^4 .
Решение. Применим признак сходимости Даламбера. Сначала запишем формулы для n-го и (n+1)-го членов ряда:
u_n=3^n/n^4 , u_(n+1)=3^(n+1)/?(n+1)?^4
D=lim?(n??)??u_(n+1)/u_n ?=lim?(n??) (3^(n+1)/?(n+1)?^4 /3^n/n^4 )=lim?(n??) (3^(n+1)/?(n+1)?^4 /n^4/3^n )=lim?(n??) (3^n*3^1*n^4)/(?(n+1)?^4*3^n )=lim?(n??) (3*n^4)/?(n+1)?^4 =3*lim?(n??) (n/(n+1))^4=3*lim?(n??) ((n+1-1)/(n+1))^4=3*lim?(n??) (1-1/(n+1))^4=3*1=3

И последнее, сделаем вывод о сходимости ряда, сравнив полученное значение предела с 1. Поскольку 3>1, то данный ряд расходится.

Ответ: ряд ?_(n=1)^??3^n/n^4   расходится.

Признак Лейбница
Знакочередующимся рядом называется ряд вида
b_1-b_2+b_3…+(-1)^(n+1) b_n+… (1)
где b1, b2, b3, … , bn — положительные числа.
Для знакочередующихся рядов имеет место следующий признак сходимости.
Признак Лейбница. Ряд S=?_(i=1)^??b_i сходится, если:

Применение сходящихся рядов к приближенным вычислениям основано на замене суммы ряда суммой нескольких первых его членов. Допускаемая при этом погрешность очень просто оценивается для знакочередующегося ряда, удовлетворяющего признаку Лейбница, — это погрешность меньше абсолютного значения первого из отброшенных членов ряда.
Пример. Пользуясь признаком Лейбница, исследовать на сходимость знакочередующийся ряд
 
Решение.
Так как члены данного ряда по абсолютной величине монотонно убывают:

и общий член при n ? ? стремится к нулю:

то в силу признака Лейбница ряд сходится.

Примеры абсолютно сходящихся и расходящихся рядов. Теорема Римана об условно сходящихся рядах
Пусть ряд – знакопеременный. Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величины его членов:
                 
Ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов.
Теорема. Если ряд абсолютно сходится, то он сходится.
Вместо исследования сходимости знакопеременного ряда обычно исследуют сходимость ряда, составленного из абсолютных величин членов знакопеременного ряда.
Пример. Исследовать сходимость ряда

Решение. Ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда, сходится. Следовательно, данный ряд сходится.
К примеру, числовые ряды  и  абсолютно сходятся, так как сходится ряд , являющийся суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии.
Сходящийся ряд называют условно сходящимся, если он абсолютно расходится.
Знакопеременный ряд  называется условно сходящимся, если ряд  расходится, а ряд  сходится.
В качестве примера условно сходящегося числового ряда можно привести ряд . Числовой ряд , составленный из абсолютных величин членов исходного ряда, расходящийся, так как является гармоническим. В то же время, исходный ряд является сходящимся, что легко устанавливается с помощью признака Лейбница. Таким образом, числовой знакочередующийся ряд условно сходящийся.
Теорема Римана. Теорема Римана об условно сходящихся рядах помогает при вычислении суммы бесконечного ряда. Пусть ряд A сходится условно, тогда для любого числа S?R можно так поменять порядок суммирования, что сумма нового ряда будет равна S.
Эта теорема подчёркивает тот факт, что условная сходимость осуществляется лишь благодаря взаимному погашению положительных и отрицательных членов и поэтому существенно зависит от порядка, в котором они следуют один за другим, между тем как абсолютная сходимость основана на быстроте убывания этих членов и от порядка их не зависит.

Понятие предела функции и его геометрический смысл. Свойства пределов
Преде?л фу?нкции (предельное значение функции) в заданной точке, предельной для области определения функции, — такая величина, к которой стремится рассматриваемая функция при стремлении её аргумента к данной точке.
Предел функции является обобщением понятия предела последовательности: изначально под пределом функции в точке понимали предел последовательности элементов области значений функции, составленной из образов точек последовательности элементов области определения функции, сходящейся к заданной точке (предел в которой рассматривается); если такой предел существует, то говорят, что функция сходится к указанному значению; если такого предела не существует, то говорят, что функция расходится.
Рассмотрим секущую АВ графика функции y=f(x) такую, что точки А и В имеют соответственно координаты  и , где  — приращение аргумента. Обозначим через  приращение функции. Отметим все на чертеже:

Из прямоугольного треугольника АВС имеем . Так как по определению касательная – это предельное положение секущей, то .
Вспомним определение производной функции в точке: производной функции y=f(x) в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при , обозначается .
Следовательно, , где  — угловой коэффициент касательной.
Таким образом, существование производной функции y=f(x) в точке  эквивалентно существованию касательной к графику функции y=f(x) в точке касания , причемугловой коэффициент касательной равен значению производной в точке , то есть .
Заключаем: геометрический смысл производной функции в точке состоит в существовании касательной к графику функции в этой точке.
Свойства пределов.
Предел суммы/разности двух функций равен сумме/разности их пределов:

Пример
Задание. Вычислить предел 
Решение. Воспользуемся первым свойство, разложим функцию на несколько более простых и отдельно найдем их пределы.

Ответ. 
   Предел произведения двух функций равен произведению их пределов:

Пример
Задание. Вычислить предел 
Решение. Воспользуемся вторым свойство, разложим функцию на несколько более простых и отдельно найдем их пределы.

Ответ. 
   Предел частного двух функций равен частному их пределов, при условии, что предел знаменателя не равен нулю:

Пример
Задание. Вычислить предел 
Решение. Воспользуемся третьим свойство, сделаем числитель и знаменатель функции отдельными пределами и независимо найдем их.

Ответ. 
   Константу можно выносить за знак предела:

Пример
Задание. Вычислить предел 
Решение. Воспользуемся первым и четвертым свойствами, разложим функцию на несколько более простых и отдельно найдем их пределы.

Ответ. 
   Предел степени с натуральным показателем равен степени предела:

Пример
Задание. Вычислить предел 
Решение. Воспользуемся пятым свойством, внесем предел под третью степень. Сначала найдем предел более простой функции, а затем возведем его в третью степень.

Ответ. 

Нахождение асимптот
При исследовании функций часто бывает, что при удалении координаты х точки кривой в бесконечность кривая неограниченно приближается к некоторой прямой.
Определение. Прямая называется асимптотой кривой, если расстояние от переменной точки кривой до этой прямой при удалении точки в бесконечность стремится к нулю.
Следует отметить, что не любая кривая имеет асимптоту. Асимптоты могут быть прямые и наклонные. Исследование функций на наличие асимптот имеет большое значение и позволяет более точно определить характер функции и поведение графика кривой.
Вообще говоря, кривая, неограниченно приближаясь к своей асимптоте, может и пересекать ее, причем не в одной точке, как показано на приведенном ниже графике функции . Ее наклонная асимптота у = х.
    
    Рассмотрим подробнее методы нахождения асимптот кривых.

Вертикальные асимптоты.
    Из определения асимптоты следует, что если или  или , то прямая х = а – асимптота кривой y = f(x).
    Например, для функции  прямая х = 5 является вертикальной асимптотой.
Наклонные асимптоты.
    Предположим, что кривая y = f(x) имеет наклонную асимптоту y = kx + b.

Обозначим точку пересечения кривой и перпендикуляра к асимптоте – М, Р – точка пересечения этого перпендикуляра с асимптотой. Угол между асимптотой и осью Ох обозначим j. Перпендикуляр МQ к оси Ох пересекает асимптоту в точке N.  Тогда MQ = y – ордината точки кривой, NQ =  — ордината точки N на асимптоте.
По условию: , ?NMP = j, .
Угол j — постоянный и не равный 900, тогда

Тогда .
Итак, прямая y = kx + b – асимптота кривой. Для точного определения этой прямой необходимо найти способ вычисления коэффициентов k и b.
 В полученном выражении выносим за скобки х:

Получаем , т.к. b = const, то .
Тогда , следовательно,
.

Т.к. , то , следовательно,
 
Горизонтальные асимптоты являются частным случаем наклонных асимптот при k =0.
Пример. Найти асимптоты и построить график функции .
1) Вертикальные асимптоты: х = 0- вертикальная асимптота.
2) Наклонные асимптоты:  

Таким образом, прямая у = х + 2 является наклонной асимптотой.
 Построим график функции:

Понятие производной
Произво?дная (функции в точке) — основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции (в данной точке). Определяется как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке).
Процесс вычисления производной называется дифференци?рованием. Обратный процесс — нахождение первообразной — интегрирование.
Производной  от функции  в точке  называется предел отношения приращения функции  к приращению аргумента  :   при , если он существует, то есть:

или

Пример Найти производную функции  в точке .
Решение. Найдем приращение заданной функции в точке  :

Тогда
Ответ. 

Механический и геометрический смысл производной
Геометрический смысл
Если функция  имеет конечную производную в точке  то в окрестности  её можно приблизитьлинейной функцией

Функция  называется касательной к  в точке  Число  является угловым коэффициентом или тангенсом угланаклона касательной прямой.
Механический смысл
Пусть  — закон прямолинейного движения. Тогда  выражает мгновенную скорость движения в момент времени  Вторая производная  выражает мгновенное ускорение в момент времени 
Вообще производная функции  в точке  выражает скорость изменения функции в точке , то есть скорость протекания процесса, описанного зависимостью 

Уравнения касательной и нормали
Рассмотрим кривую, уравнение которой есть y=f(x). Возьмем на этой кривой точку M(x0, y0), и составим уравнение касательной к данной кривой в точке M, предполагая, что эта касательная не параллельна оси Oy.
Уравнение прямой с угловым коэффициентом в общем виде есть у=kx + b. Поскольку для касательной k= f'(x0), то получаем уравнение y= f'(x0)·x + b. Параметр b найдем из условия, что касательная проходит через точку M(x0, y0). Поэтому ее координаты должны удовлетворять уравнению касательной: y0= f'(x0)·x0 + b. Отсюда b=y0– f'(x0)·x0.
Таким образом, получаем уравнение касательной y= f'(x0)·x +y0 – f'(x0)·x0 или
y = f ‘(x0)·(x – x0) + f(x0)
Если касательная, проходящая через точку М(x0,y0) параллельна оси ординат (т.е. производная в этой точке не существует), то ее уравнение x= x0.
Наряду с касательной к кривой в данной точке часто приходится рассматривать нормаль.
Нормалью к кривой в данной точке называется прямая, проходящая через эту точку перпендикулярно к касательной в данной точке.
Из определения нормали следует, что ее угловой коэффициент kn связан с угловым коэффициентом касательной k равенством:
.
Учитывая, что нормаль также как и касательная проходит через точку M(x0, y0), то уравнение нормали к кривой y= f(x) в данной точке M имеет вид:

Ясно, что если касательная параллельна оси Ox, т.е.f'(x0) = 0 и ее уравнение имеет вид y= y0, то нормаль в этой же точке будет перпендикулярна оси Ox. Значит, ее уравнение имеет вид x= x0.
Пример.
Составить уравнения касательной и нормали к графику функции у = tg2x в точке с абсциссой x0=?/4.

Уравнение касательной имеет вид y =4·(x – ?/4) + 1 или y = 4x – ? + 1.
Уравнение нормали будет y = –1/4·(x – ?/4) + 1 или у = –1/4·x + ?/16 + 1.
Составить уравнения касательной и нормали к графику функции у = 0.5·(x – 2)2 + 5 в точке M(2; 5).
y’= x – 2, y'(2) = 0 . Следовательно, касательная параллельна оси Ox, а значит ее уравнение y= 5 . Тогда нормаль параллельна оси Oy и имеет уравнение x= 2 .
Найти уравнение касательной и нормали к эллипсу  в точке M(2; 3).
Найдем y’ по правилу дифференцирования неявной функции .
Уравнение касательной: ,т.е. .
Уравнение нормали: , т.е. .
Составить уравнения касательной и нормали к циклоиде x= t – sin t, y= 1 – cos tв точке М(x0; y0), которая соответствует значению параметра t = ?/2.
При t=?/2×0= ?/2 – 1, y0=1.
.
Уравнение касательной: y = x – ?/2 + 1 + 1, т.е. у = x – ?/2 + 2.
Уравнение нормали: y = – x – ?/2 – 1 + 1, т.е. у = – x – ?/2.

Формула Тейлора
Теорема Тейлора. 1) Пусть функция f(x) имеет в точке х = а и некоторой ее окрестности производные порядка до (n+1) включительно.{ Т.е. и все предыдущие до порядка n функции и их производные непрерывны и дифференцируемы в этой окрестности}. 
2) Пусть х- любое значение из этой окрестности, но х ? а.
Тогда между точками х и а найдется такая точка ?, что справедлива формула:

-это выражение называется формулой Тейлора, а выражение:

-называется остаточным членом в форме Лагранжа.
Пример Разложить по формуле Тейлора по степеням х функции:
а)  ,
б)  ,
в) .
Решение. а) . В формуле 1 мы не можем вместо х подставить 3х-2, так как  при . Функцию надо преобразовать так:
.
Вместо х мы имеем право подставить 3х, так как  при .
б) . Сначала преобразуем функцию так, чтобы первое слагаемое равнялось 1.

Запишем формулу бинома 6. для случая 

Для данной функции вместо х подставляем :

в) . Так как здесь  при , то можно в формуле 6 вместо х записать х+6х2:

Однако, если квадратный трехчлен, находящийся под знаком логарифма, имеет действительные корни, то лучше разложить его на линейные множители и воспользоваться свойством логарифма произведения. 

Применение производной для нахождения экстремумов и интервалов монотонности функций
 Исследование  функции на возрастание и убывание (монотонность).
Определение. Точка называется критической (стационарной), если она является внутренней точкой области определения и производная в ней равна нулю или не существует.
Признаки возрастания и убывания функции:
Если производная данной функции положительна для всех значений х в интервале (а; в),   т.е.f'(x) > 0,  то функция в этом интервале возрастает. 
Если производная данной функции отрицательна для всех значений х в интервале(а; в), т.е.f'(x) < 0, то функция в этом интервале убывает. Алгоритм нахождения промежутков возрастания и убывания Образец решения 1. Найти Д(f). 2. Найти f'(x). 3. Найти стационарные  точки, т.е. точки, где  f'(x) = 0 или f'(x) не существует. (Производная равна 0 в нулях числителя, производная не существует в нулях знаменателя) 4. Расположить Д(f) и эти точки на координатной прямой. 5. Определить знаки производной на    каждом из интервалов 6. Применить признаки. 7. Записать ответ. Исследование  функции  на экстремум с помощью  производной Признаки  максимума и минимума функции: Если при переходе через стационарную точку х0  производная f'(x)  данной функции меняет знак с « – » на « + »,  то функция в этой точке х0 имеет минимум. Если при переходе через стационарную точку х0  производная f'(x) данной функции меняет знак с « + » на « – »,  то функция в этой точке х0 имеет максимум. Алгоритм нахождения максимума и минимума функции. Образец решения 1. Найти Д(f). 2. Найти f'(x). 3. Найти стационарные  точки, т.е. точки, где  f'(x) = 0 или  f'(x) не существует. 4. Расположить Д(f) и эти точки на координатной прямой. 5. Определить знаки производной на каждом из интервалов. 6. Применить признаки. 7. Найти уmax , уmin 8. Записать ответ. Выпуклость графика График функции y=f(x) называется выпуклым на интервале (a; b), если он расположен ниже любой своей касательной на этом интервале. График функции y=f(x) называется вогнутым на интервале (a; b), если он расположен выше любой своей касательной на этом интервале. На рисунке показана кривая, выпуклая на (a; b) и вогнутая на (b; c). Примеры. Полуокружность  выпукла на [–1; 1]. Парабола y = x2 вогнута на интервале (-?; +?). График функции в одних интервалах может быть выпуклым, а в других вогнутым. Так график функции y = sin x на [0,2; ?], выпуклый в интервале (0; ?) и вогнутый в (?; 2?). Рассмотрим достаточный признак, позволяющий установить, будет ли график функции в данном интервале выпуклым или вогнутым. Теорема. Пусть y=f(x) дифференцируема на (a; b). Если во всех точках интервала (a; b) вторая производная функции y = f(x) отрицательная, т.е. f''(x) < 0, то график функции на этом интервале выпуклый, если же f''(x) > 0 – вогнутый.

Доказательство. Предположим для определенности, что f»(x) < 0 и докажем, что график функции будет выпуклым. Возьмем на графике функции y = f(x) произвольную точку M0 с абсциссой x0 ? (a; b) и проведем через точку M0 касательную. Ее уравнение . Мы должны показать, что график функции на (a; b) лежит ниже этой касательной, т.е. при одном и том же значении xордината кривой y = f(x) будет меньше ордината касательной. Итак, уравнение кривой имеет вид y = f(x). Обозначим  ординату касательной, соответствующую абсциссе x. Тогда . Следовательно, разность ординат кривой и касательной при одном и том же значении x будет . Разность f(x) – f(x0) преобразуем по теореме Лагранжа , где c между x и x0. Таким образом, . К выражению, стоящему в квадратных скобках снова применим теорему Лагранжа: , где c1 между c0 и x0. По условию теоремы f ''(x) < 0. Определим знак произведения второго и третьего сомножителей. Предположим, что x>x0. Тогда x0 0 и (c – x0) > 0. Поэтому .
Пусть x 0 при любых x, то кривая всюду вогнута.
 
y = x3. Так как y» = 6x, то y» < 0 при x < 0 и y'' > 0 при x > 0. Следовательно, при x < 0 кривая выпукла, а при x > 0 вогнута.
Точка графика непрерывной функции, отделяющая его выпуклую часть от вогнутой, называется точкой перегиба.
Очевидно, что в точке перегиба касательная, если она существует, пересекает кривую, т.к. с одной стороны от этой точки кривая лежит под касательной, а с другой стороны – над нею.
Определим достаточные условия того, что данная точка кривой является точкой перегиба.
Теорема. Пусть кривая определяется уравнением y = f(x). Если f »(x0) = 0 или f »(x0) не существует и при переходе через значение x = x0производная f »(x) меняет знак, то точка графика функции с абсциссой x = x0 есть точка перегиба.
Доказательство. Пусть f »(x) < 0 при x < x0 и f ''(x) > 0 при x > x0. Тогда при x < x0 кривая выпукла, а при x > x0 – вогнута. Следовательно, точка A, лежащая на кривой, с абсциссой x0 есть точка перегиба. Аналогично можно рассматривать второй случай, когда f »(x) > 0 при x < x0 и f ''(x) < 0 при x > x0.
Таким образом, точки перегиба следует искать только среди таких точек, где вторая производная обращается в нуль или не существует.
Примеры. Найти точки перегиба и определить интервалы выпуклости и вогнутости кривых.

Найдем производные заданной функции до второго порядка.
.
. Вторая производная не существует при x = 1. Исследуем эту точку на возможный перегиб.
Итак, точка перегиба x = 1. Функция выпукла на (1; +?), вогнута на (–?; 1).

Возможные точки перегиба найдем, решив уравнение 2×2 – 1 = 0. Отсюда .
Точки перегиба . Функция выпукла на  и вогнута на .
y = ln (1 – x2). Область определения функции D(y) = (-1; 1).
.
 при всех x из (–1; 1).
Следовательно, f(x) выпуклая на (–1; 1).

Линии уровня функций двух переменных
Линией уровня функции двух переменных Z = F(X, Y) называется плоская кривая, получаемая при пересечении графика этой функции плоскостью Z = С, где С — Постоянная величина, параллельной координатной плоскости Оху.
Обычно линии уровня, соответствующие различным значениям постоянной величины С, проецируются на одну плоскость, например на координатную плоскость Оху; тогда их удобно анализировать и с их помощью исследовать сложный характер поверхности, описываемой функцией Z = F(X, У).
Таким образом, можно сказать, что линии уровня функции Z = F(X, У) — это семейство кривых на координатной плоскости Оху, описываемое уравнениями вида

Обычно берут арифметическую прогрессию чисел Ci с постоянной разностью H; тогда по взаимному расположению линий уровня можно получить представление о форме поверхности, описываемой функцией Z = F(X, у). Там, где функция изменяется быстрее, линии уровня сгущаются, а там, где поверхность пологая, линии уровня располагаются реже (рис. 8.4).

Пример. Найти линии уровня функции Z = х2 + у2 — 2Х — 2У.
Решение. Линии уровня данной функции — это семейство кривых на плоскости Оху, описываемое уравнением

Последнее уравнение описывает семейство окружностей с центром в точке O1(l, 1) радиуса R =.Поверхность вращения (параболоид), описываемая данной функцией, становится «круче» по мере ее удаления от оси, которая дается уравнениями X = 1, У = 1.